Headlines News :
Home » » Pembuktian Panjang Garis Bagi pada Segitiga

Pembuktian Panjang Garis Bagi pada Segitiga

Written By Arwani Muhammad on Monday, December 24, 2012 | Monday, December 24, 2012

untuk membuktikan panjang garis bagi segitiga, kita akan mengkonstruksi segitiganya yaitu \triangleABC dalam sebuah lingkaran, kemudian ditarik garis CD dan perpanjang sedemikian sehingga memotong lingkaran di titik E dan membentuk \triangleBCE, selengkapnya perhatikan gambar dibawah ini.
Photobucket
Dari gambar diatas, diketahui AC = b, BC = a, AB = c, CD = d, AD = x, BD = y, \angleBAC = \alpha, \angleABC = \beta dan \angleACB = \gamma.
Disini kita akan membuktikan beberapa sifat untuk memperkuat pembuktian, langsung saja disimak.
a. akan dibuktikan \triangleACD \sim \triangleEBD
dalam pembuktian ini akan memanfaatkan sudut pusat dan sudut keliling, dimana Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling. Seperti yang terlihat pada gambar diatas, bahwa \angleAOE, \angleBOE, \angleBOC dan \angleAOC merupakan sudut pusat. Untuk membuktikan \triangleACD \sim \triangleEBD, terlebih dahulu akan ditunjukkan akan dibuktikan \angleDAC = \angleDEB dan \angleDCA = \angleDBE.
Langkah Awal :
\angleAOE = 2 \angleACE
= \angleACB
= \gamma
\angleDBE = \angleABE
= 1/2 \angleAOE
= 1/2 \angleACB
= 1/2 \gamma
\angleBOE = 2 \angleBCE
= 2 (1/2 \gamma) [karena \angleBOE = \angleACB]
= \gamma
\angleBAC = 1/2 \angleBOC dan \angleBEC = 1/2 \angleBOC maka \angleBAC = \angleBEC
(i) akan dibuktikan \angleDAC = \angleDEB
\angleDEB = \angleCEB
= 1/2 \angleBOC
= 1/2 (2 \angleBAC)
= 1/2 (2 \alpha)
= \alpha
Terbukti \angleDAC = \angleDEB
(ii). akan dibuktikan \angleDCA = \angleDBE
\angleABE = \angleDBE
= 1/2 \angleAOE
= 1/2 (2 \angleACE)
= 1/2 (2 \angleACD)
= 1/2 (2 . 1/2 \angleACB)
= 1/2 \angleACB
= 1/2 \gamma
Terbukti \angleDCA = \angleDBE
berdasarkan Teorema AAA (Angle Angle Angle), maka \triangleACD \sim \triangleEBD
b. akan dibuktikan \triangleBED \sim \triangleCEB (\angleDEB = \angleBEC dan \angleBDE = \angleADC)
dari gambar diatas terlihat bahwa \angleBEC = \angleDEB, dengan \angleDEB = \angleBED
\angleDEB = 1/2 \angleBOC
= 1/2 (2 \angleBAC)
= 1/2 (2 \alpha)
= \alpha
\angleDBE = \angleABE
= 1/2 \angleAOE
= 1/2 \angleACB
= 1/2 \gamma
= \angleACD
\angleCBE = 1800 – (\angleECB + \angleCEB)
= 1800 – (1/2 \gamma + \alpha)
\angleBDE = \angleADC [sudut bertolak belakang]
\angleEDB = \angleADC
= 1800 – (\angleDAC + \angleACD)
= 1800 – (\alpha + 1/2 \gamma)
\angleCBE = \angleADC = \angleEDB
Karena \angleDEB = \angleBEC, \angleBDE = \angleCBE dan \angleDBE = \angleBCE. Sehingga berdasarkan Teorema AAA, \triangleBED \sim \triangleCEB.
Karena \triangleACD \sim \triangleEBD, maka diperoleh
\frac{ED}{AD} = \frac{BD}{CD} = \frac{EB}{AC}
\frac{DE}{x} = \frac{y}{d} = \frac{EB}{b} … (1)
Karena \triangleBED \sim \triangleCEB, maka diperoleh
\frac{BD}{CB} = \frac{ED}{EB} = \frac{BE}{CE}
\frac{y}{a} = \frac{ED}{EB} = \frac{EB}{CE} … (2)
dari (1), diperoleh :
\frac{y}{d} = \frac{EB}{b} \Rightarrow EB = \frac{b.y}{d} … (3)
\frac{DE}{x} = \frac{y}{d} \Rightarrow DE = \frac{x.y}{d} … (4)
dari (2), diperoleh :
\frac{y}{a} = \frac{EB}{CE} \Rightarrow EB = \frac{CE.y}{a} … (5)
substitusi pers (3) ke pers (5), diperoleh
\frac{b.y}{d} = \frac{CE.y}{a}
CE = \frac{a.b}{d} … (6)
dari gambar lingkaran diatas, diketahui
DE = CE – CD
= \frac{a.b}{d} – d
= \frac{a.b-d^2}{d} … (7)
kemudian substitusi pers (4) ke pers (7), diperoleh
\frac{x.y}{d} = \frac{a.b-d^2}{d}
xy = ab – d2
Panjang Garis Bagi : d2 = ab – xy
Share this article :

0 comments:

Speak up your mind

Tell us what you're thinking... !

Situs-situs Terkait

Music

 
Support : Muhammad Arwani Proudly powered by Blogger
Copyright ; 2012. Agama tanpa ilmu pengetahuan akan buta - All Rights Reserved
Copright SMK Manba'ul Huda Published by Blogger