Pembuktian Panjang Garis Bagi pada Segitiga

Written By Unknown on Monday, December 24, 2012 | Monday, December 24, 2012

untuk membuktikan panjang garis bagi segitiga, kita akan mengkonstruksi segitiganya yaitu $\triangle$ ABC dalam sebuah lingkaran, kemudian ditarik garis CD dan perpanjang sedemikian sehingga memotong lingkaran di titik E dan membentuk $\triangle$ BCE, selengkapnya perhatikan gambar dibawah ini.

Dari gambar diatas, diketahui AC = b, BC = a, AB = c, CD = d, AD = x, BD = y, $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ ABC = $\beta$ dan $\angle$ ACB = $\gamma$ .

Disini kita akan membuktikan beberapa sifat untuk memperkuat pembuktian, langsung saja disimak.

a. akan dibuktikan $\triangle$ ACD $\sim$ $\triangle$ EBD

dalam pembuktian ini akan memanfaatkan sudut pusat dan sudut keliling, dimana Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling. Seperti yang terlihat pada gambar diatas, bahwa $\angle$ AOE, $\angle$ BOE, $\angle$ BOC dan $\angle$ AOC merupakan sudut pusat. Untuk membuktikan $\triangle$ ACD $\sim$ $\triangle$ EBD, terlebih dahulu akan ditunjukkan akan dibuktikan $\angle$ DAC = $\angle$ DEB dan $\angle$ DCA = $\angle$ DBE.

Langkah Awal :

$\angle$ AOE = 2 $\angle$ ACE

= $\angle$ ACB

= $\gamma$

$\angle$ DBE = $\angle$ ABE

= 1/2 $\angle$ AOE

= 1/2 $\angle$ ACB

= 1/2 $\gamma$

$\angle$ BOE = 2 $\angle$ BCE

= 2 (1/2 $\gamma$ ) [karena $\angle$ BOE = $\angle$ ACB]

= $\gamma$

$\angle$ BAC = 1/2 $\angle$ BOC dan $\angle$ BEC = 1/2 $\angle$ BOC maka $\angle$ BAC = $\angle$ BEC

(i) akan dibuktikan $\angle$ DAC = $\angle$ DEB

$\angle$ DEB = $\angle$ CEB

= 1/2 $\angle$ BOC

= 1/2 (2 $\angle$ BAC)

= 1/2 (2 $\alpha$ )

= $\alpha$

Terbukti $\angle$ DAC = $\angle$ DEB

(ii). akan dibuktikan $\angle$ DCA = $\angle$ DBE

$\angle$ ABE = $\angle$ DBE

= 1/2 $\angle$ AOE

= 1/2 (2 $\angle$ ACE)

= 1/2 (2 $\angle$ ACD)

= 1/2 (2 . 1/2 $\angle$ ACB)

= 1/2 $\angle$ ACB

= 1/2 $\gamma$

Terbukti $\angle$ DCA = $\angle$ DBE

berdasarkan Teorema AAA (Angle Angle Angle), maka $\triangle$ ACD $\sim$ $\triangle$ EBD

b. akan dibuktikan $\triangle$ BED $\sim$ $\triangle$ CEB ( $\angle$ DEB = $\angle$ BEC dan $\angle$ BDE = $\angle$ ADC)

dari gambar diatas terlihat bahwa $\angle$ BEC = $\angle$ DEB, dengan $\angle$ DEB = $\angle$ BED

$\angle$ DEB = 1/2 $\angle$ BOC

= 1/2 (2 $\angle$ BAC)

= 1/2 (2 $\alpha$ )

= $\alpha$

$\angle$ DBE = $\angle$ ABE

= 1/2 $\angle$ AOE

= 1/2 $\angle$ ACB

= 1/2 $\gamma$

= $\angle$ ACD

$\angle$ CBE = 180⁰ – ( $\angle$ ECB + $\angle$ CEB)

= 180⁰ – (1/2 $\gamma$ + $\alpha$ )

$\angle$ BDE = $\angle$ ADC [sudut bertolak belakang]

$\angle$ EDB = $\angle$ ADC

= 180⁰ – ( $\angle$ DAC + $\angle$ ACD)

= 180⁰ – ( $\alpha$ + 1/2 $\gamma$ )

$\angle$ CBE = $\angle$ ADC = $\angle$ EDB

Karena $\angle$ DEB = $\angle$ BEC, $\angle$ BDE = $\angle$ CBE dan $\angle$ DBE = $\angle$ BCE. Sehingga berdasarkan Teorema AAA, $\triangle$ BED $\sim$ $\triangle$ CEB.

Karena $\triangle$ ACD $\sim$ $\triangle$ EBD, maka diperoleh